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SUMMARY:Séminaire du LPTMS: Robin Guichardaz - LPTMS\, salle 201\, 2ème 
 étage\, Bât 100\, Campus d'Orsay - 30 Mai 17 11:00
DESCRIPTION:Dimensions fractales négatives dans des systèmes dynamiques a
 léatoires\nRobin Guichardaz (E.N.S Lyon)\nLes attracteurs étranges appar
 aissant dans des systèmes dynamiques chaotiques présentent une structure
  fractale\, caractérisée par une dimension fractionnaire et positive. Un
 e des définitions possibles de la dimension fractale\, la dimension de co
 rrélation\, est liée à la densité de points dans l'espace des phases a
 utour d'une trajectoire donnée. Cette densité évolue généralement en 
 une loi de puissance en fonction de la séparation des trajectoires\, de s
 orte que la dimension de corrélation est reliée simplement à l'exposant
  de cette loi de puissance.\n\nNous avons étendu cette notion au cas de s
 ystèmes dynamiques stochastiques stables\, pour lesquels tous les exposan
 ts de Lyapunov sont strictement négatifs\, ce qui signifie que toutes les
  trajectoires convergent in fine vers un attracteur ponctuel. Cependant\, 
 si nous ajoutons du bruit dans les équations du mouvement\, contrairement
  à un étalement gaussien autour de l'attracteur\, nous retrouvons une di
 stribution en loi de puissance pour la séparation des trajectoires\, ind
 épendante du bruit additif. Nous interprétons l'exposant correspondant c
 omme une dimension fractale\, qui s'avère prendre des valeurs négatives.
 \n\nPlus spécifiquement\, nous avons étudié un modèle unidimensionnel 
 décrivant la dynamique de particules inertielles dans un flot aléatoire.
  Nous exprimons la dynamique de séparation de trajectoires proches comme 
 un processus de sédimentation dans un espace adapté. Nous présenterons 
 des résultats issus de simulations numériques\, ainsi que des outils ana
 lytiques permettant de déterminer la dimension de corrélation. Indépend
 amment du modèle\, nous proposons une approche basée sur les grandes dé
 viations et pouvant être utilisée dans l'étude de systèmes intermitten
 ts.\n\n-----\n\nNegative fractal dimensions in random dynamical systems :\
 n\nIn chaotic dynamical systems\, strange attractors have fractal structur
 es\, characterized by a (positive) dimension. In particular\, the correlat
 ion dimension is linked to the density of points in the phase space around
  a given trajectory. This density usually scales as a power-law in terms o
 f the separation of trajectories\, so that the correlation dimension is li
 nked to the exponent of the power-law.\n\nWe extended this notion to the c
 ase of stable stochastic dynamical systems for which all the Lyapunov expo
 nents are negative\, meaning that all trajectories converge to a point-lik
 e attractor with probability unity. Nevertheless\, in the presence of an a
 dditive noise\, instead of a gaussian distribution linked to the additive 
 noise we retrieve a power-law distribution for the separation of trajector
 ies\, independent of the additive noise. We interpret the corresponding ex
 ponent as a fractal dimension\, which turns out to be negative.\n\nSpecifi
 cally\, we illustrate these notions with a simple one-dimensional model of
  colloidal particles in a randomly generated flow. We reformulate the dyna
 mics of close trajectories in terms of a sedimentation process in a suitab
 le space. Both numerical determinations and analytic tools to compute the 
 correlation dimension will be presented. We propose a large deviation appr
 oach\, without reference to any specific model\, which can be applied to t
 he study of intermittent systems.
CATEGORIES:seminars
LOCATION:LPTMS\, salle 201\, 2ème étage\, Bât 100\, Campus d'Orsay\, 15 
 Rue Georges Clemenceau\, Orsay\, 91405\, France
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